2021年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(含详细解析)

坐标系与参数方程1431063选修1431063试卷难度结构分析序号难易度容易522普通391困难87试卷知识点分析序号知识点认知水平分值占比对应题号复数代数形式的混合运算516交集及其运算516全称量词命题516命题的否定516命题的线直线排列组合及简单计数问题516yasinx的部分图象确定其解析式51612几何概型51613解三角形的实际应用51614二次函数的图象5161015二次函数的性质5161016椭圆的定义5161117椭圆的简单性质5161118指数函数的图象与性质5161219对数函数的图象与性质5161220双曲线双曲线数量积判断两个平面向量的垂直关系5161425余弦定理5161526三角形中的几何计算5161527由三视图还原实物图5161628众数中位数平均数12391729极差方差与标准差12391730向量方法证明线用空间向量求直线利用导数研究函数的极值12392036导数在最大值最小值问题中的应用12392037圆的标准方程12392138抛物线抛物线点的极坐标和直角坐标的互化10322241参数方程化成普通方程10322242不等式的综合103223

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动,用皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一

6. ( 5 分 ) 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训,每名志

愿者只分到 1 个项目,每个项目至少分配 1 名志愿者,则不同的分配方案共有( )

7. ( 5 分 ) 把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的

8. ( 5 分 ) 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数,则两数之和大于

9. ( 5 分 ) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。如图,

点 E,H,G 在水平线 AC 上,DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG 称

为“表距”,GC 和 EH 都称为“表目距”,GC 与 EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高 AB=( ).

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。(共 4 题;共 20 分)

16. ( 5 分 ) 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三

视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可).

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(共 5 题;共 60 分)

17. ( 12 分 ) 某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台

旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品,得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 𝑥̅ 和 𝑦̅ ,样本方差分别记为 s12 和 s22

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 𝑦̅ – 𝑥̅ ≥ 2√𝑠1 𝑠2 ,则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).

(2)若点 P 在 M 上,PA,PB 是 C 的两条切线,A,B 是切点,求 Δ PAB 的最大值.

(2)过点 F(4,1)作 ⊙ C 的两条切线, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用皮擦干

净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

, 所以函数的对称中心是(-1,-1),所以函数 f(x)向右平移 1 个

单位,再向上平移 1 个单位后关于(0,0)中心对称,而四个选项中只有 B 满足条件,

【解析】【解答】如图,连接 AC,设 AC 与 BD 交于 O,连接 OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为 x,

【解析】【解答】由题意知,必须有 2 个人一组,其他各组只有 1 个人,所以分配方法是:𝐶52 𝐶41 𝐴33 =

纵坐标不变,得到𝑦 = sin(𝑥 12),再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,即函数的周期

表示为一个正方四个顶点:(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线;b 4的 a,b 取值的可行域如图中阴影部分表示,

【分析】对 a 的正负进行讨论,根据极值点的意义,作图分析,得到正确选项。

【分析】由两点间的距离公式,表示出PB2 , 再根据椭圆上任意点的纵坐标 y0 的取值范围,解相关

【考点】平面向量的坐标运算,平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系

【分析】先计算出𝑎 -𝜆𝑏 的坐标式,再根据两向量垂直,列式求解。

【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时,右侧棱在左侧,不可观测到,所以为虚线,故选择③为侧视图;

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,每个试题考生

显然 𝑦̅ – 𝑥̅ <2 √𝑠1 𝑠2 ,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

<【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理,用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,定义相关点的坐标,通过计算求解;

【解析】【分析】(1)根据等差数列及前 n 项和的定义,由递推关系,求证。

(2)呈上,先写出 bn,再求{bn}前 n 磺的和 Sn ,再由 an 与 Sn 的关系,进一步求得结果。

所以 f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,∞)上单调递增,故 f(t)>f(1)=0,得证。

>0 ,然后通过换元,构造函数,用导数研究相关函数的单调性,从而证明命题成立。

【解析】【分析】(1)因为 F 点到圆上距离最小的即为 F 到圆心的距离减去半径 1,据此得到结果;

(2)由(1)写出抛物线的标准方程 ,分别设出切点 A,B 的坐标,及 P(在圆 M 上)的坐标,分别写出

两条切线的方程,利用 A,B 都过 P 点,建立方程求解。最后通过三角形 PAB 面积表达式,研究最值。

22.【答案】 (1)因为 ⊙ C 的圆心为(2,1),半径为 1.故 ⊙ C 的参数方程为 {

(2)设出过点(4,1)的圆的切线方程,利用直线与相切求出切线的斜率,进而求得两条切线的方程,

(2)f(x)最小值-a,而由绝对值的几何意义,即求 x 到 a 和-3 距离的最小值.

【解析】【分析】(1)当 a=1,写出 f(x)=x-1×3 ,进一步分段讨论去值,解不等式;

(2)只要保证 f(x)最小值-a,而由绝对值的几何意义,即求 x 到 a 和-3 距离的最小值.

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